✨概率论期末速成(三套卷)——试卷①✨

2025-09-21 02:16:10

✨博主：命运之光 ✨专栏：概率论期末速成（三套卷）

✨一、填空题（在下列各题填写正确答案，不填、填错，该题无分，每小题3分，共36分）✨二、计算题(本大题6小题，每小题9分，共54分)。✨三、应用题（10分）✨附上原笔记图片（祝大家考试顺利）

前言：第一次尝试打数学公式，我是用语雀记得笔记然后直接导入了CSDN但导入后格式和公式都发生了变化，之后我会直接用图片写题解这样格式不会乱，而且比打公式效率高许多。

✨✨为了让大家看的清楚，我在文章的最后附上了导入前笔记的样子，供大家参考。

✨一、填空题（在下列各题填写正确答案，不填、填错，该题无分，每小题3分，共36分）

1、设

A,B,C

A,B,C为3个事件，则表示

A,B,C

A,B,C中至少两个发生的事件是____.

第一题比较简单，我们通过答案就可以理解，所以这里就不过多阐述。

解题：

\={A}BC+A\={B}C+AB\={C}+ABC

AˉBC+ABˉC+ABCˉ+ABC2、设事件

A,B

A,B独立，且

(

)

0.4

P(A)=0.4

P(A)=0.4，

(

)

0.2

P(B)=0.2

P(B)=0.2，则

(

∪

)

P(A \cup \={B})=

P(A∪Bˉ)=____.知识点：

(

∪

)

{

(

)

(

)

−

(

)

(

)

(

)

∅

P(A \cup B)=\begin{cases} P(A)+P(B)-P(AB) \\ P(A)+P(B) &\text{if } AB=\emptyset \end{cases}

P(A∪B)={P(A)+P(B)−P(AB)P(A)+P(B)if AB=∅解题：套用上面知识点

(

∪

)

(

)

(

)

−

(

)

0.4

0.8

−

0.4

0.8

1.2

−

0.32

0.88

\begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A)+P(\={B})-P(A\={B}) \\ &= 0.4+0.8-0.4×0.8 \\ &= 1.2-0.32\\ &= 0.88 \end{aligned}

P(A∪B)=P(A)+P(Bˉ)−P(ABˉ)=0.4+0.8−0.4×0.8=1.2−0.32=0.88 3、设在全部产品中有20%是废品，而合格品有85%是一级品，则任意抽出一个产品是一级品的概率为_____.

这题也较简单看答案就能理解

解题：合格品：

−

1-20\%=80\%

1−20%=80%任取一个产品是一级品的概率为：

0.8

0.85

0.68

80\%×85\%=0.8×0.85=0.68

80%×85%=0.8×0.85=0.684、设在一次试验中，事件A发生的概率为0.6.现进行3次独立试验，则A至少发生概率为_____.

这题也较简单看答案就能理解

分析这题采用反证法：

A至少发生概率为：

−

1-A

1−A一次也不发生的概率。题解：

A至少发生概率为：

−

(

0.4

)

0.936

1-\={P}=1-(0.4×0.4×0.4)=0.936

1−Pˉ=1−(0.4×0.4×0.4)=0.9365、设离散型随机变量的

X分布函数为

(

)

{

−

0.1

−

≤

＜

0.5

≤

＜

F(x)\begin{cases} 0,&x<-1\\ 0.1,&-1≤x＜0\\ 0.5,&0≤x＜2 \end{cases}

F(x)⎩

⎨

⎧0,0.1,0.5,x<−1−1≤x＜00≤x＜2则

{

}

P\begin{Bmatrix}x=0 \end{Bmatrix}=

P{x=0}=_____.

这题套用知识点直接解就行

知识点：

{

}

{

≤

}

−

{

}

P\{x=0\}=P\{X≤0\}-P\{x<0\}

P{x=0}=P{X≤0}−P{x<0}解题：套用上面知识点

{

}

{

≤

}

−

{

}

0.5

−

0.1

0.4

P\{x=0\}=P\{X≤0\}-P\{x<0\}=0.5-0.1=0.4

P{x=0}=P{X≤0}−P{x<0}=0.5−0.1=0.46、设随机变量X的分布函数为

(

)

F(x)=A+\frac 1 \pi arctanx

F(x)=A+π1arctanx,则

A=.知识点：

(

∞

)

F(+\infty)=1

F(+∞)=1

(

−

∞

)

F(-\infty)=0

F(−∞)=0解题：套用上面知识点KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.解得：

A=\frac1 2

A=217、设随机变量

∽

(

)

X\backsim N(1,4)

X∽N(1,4)，且

(

)

0.9772

\Phi(2)=0.9772

Φ(2)=0.9772，则

{

≤

}

P\{1≤x≤5\}=

P{1≤x≤5}=.知识点：正态分布

∽

(

)

X\backsim N( \mu , \delta^2)

X∽N(μ,δ2)密度

(

)

(

−

(

−

)

P(X)={\frac 1 { \sqrt{\mathstrut 2\pi} \delta}}e^{\frac {-({x-\mu})^2} {2\delta^2}}

P(X)=(2π

δ1e2δ2−(x−μ)2期望

(

)

E(x)=\mu

E(x)=μ方差

(

)

D(x)=\delta^2

D(x)=δ2

{

}

{

−

}

(

−

)

−

(

−

)

P\{a

P{a

(

)

0.5

\Phi(0)=0.5

Φ(0)=0.5解题：套用上面知识点 8.设随机变量

∽

(

)

X\backsim P(\lambda)

X∽P(λ)，且

[

(

−

)

]

E[X(X-2)]=6

E[X(X−2)]=6，则

\lambda

λ.知识点：分布律：

{

}

−

，

(

2...

)

P=\{x=k\}=\frac {\lambda^2} {k!}e^{-\lambda}，(k=0,1,2...,n)

P={x=k}=k!λ2e−λ，(k=0,1,2...,n)

(

)

(

)

E(x)=D(x)=\lambda

E(x)=D(x)=λ

(

)

(

)

(

)

E(x^2)=D(x)+E^2(x)=\lambda+\lambda^2

E(x2)=D(x)+E2(x)=λ+λ2解题：套用上面知识点 KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode. 解得：

\lambda=3

λ=39、设二维随机变量

(

)

∽

(

−

0.2

)

(X,Y)\backsim N(-1,0,4,9,0.2)

(X,Y)∽N(−1,0,4,9,0.2)，则

(

)

cov(X,Y)=

cov(X,Y)=.知识点：二维正态分布

(

)

∽

(

，

)

(X,Y)\backsim N(\mu_1，\mu_2，\delta^2_1，\delta^2_2，p)

(X,Y)∽N(μ1，μ2，δ12，δ22，p)其中

(

)

(

)

(

)

(

)

\begin{aligned} &\mu_1=E(X) \\&\mu_2=E(Y) \\&\delta^2_1=D(X) \\&\delta^2_2=D(Y) \\&P=P_{XY} \end{aligned}

μ1=E(X)μ2=E(Y)δ12=D(X)δ22=D(Y)P=PXY

(

)

(

)

(

)

cov(X,Y)=(\sqrt{\mathstrut D(X)}×\sqrt{\mathstrut D(Y)} )×P

cov(X,Y)=((D(X)

×(D(Y)

)×P

∽

(

)

，

∽

(

)

X\backsim N(\mu,\delta^2_1)，Y\backsim N(\mu,\delta^2_2)

X∽N(μ,δ12)，Y∽N(μ,δ22)解题：套用上面知识点

(

)

(

)

(

)

0.2

1.2

cov(X,Y)=(\sqrt{\mathstrut D(X)}×\sqrt{\mathstrut D(Y)} )×P=2×3×0.2=1.2

cov(X,Y)=((D(X)

×(D(Y)

)×P=2×3×0.2=1.210.设

∽

(

，

)

，

∽

(

)

X\backsim U(0，2)，Y\backsim E_{xp}(1)

X∽U(0，2)，Y∽Exp(1)，且

X与

Y相互独立，则

(

−

)

D(2X-3Y+4)=

D(2X−3Y+4)=_____.知识点：均匀分布

∽

(

，

)

X \backsim U(a，b)

X∽U(a，b)密度

(

)

{

−

其他

p(x)=\begin{cases} \frac 1 {b-a},&a

p(x)={b−a1,0,a

(

)

(

−

)

D(x)=\frac {(b-a)^2} {12}

D(x)=12(b−a)2期望

(

)

E(x)=\frac {a+b} 2

E(x)=2a+b

指数分布

∽

(

)

X\backsim E_{xp}(\lambda)

X∽Exp(λ)密度

(

)

{

−

，

其他

P(x)=\begin{cases} \frac 1 {b-a}，&a

P(x)={b−a1，0,a

(

)

D(x)=\frac 1 {\lambda^2}

D(x)=λ21期望

(

)

E(x)=\frac 1 \lambda

E(x)=λ1解题：套用上面知识点

(

)

(

)

(

)

(

)

\begin{aligned} &\mu_1=E(X) \\&\mu_2=E(Y) \\&\delta^2_1=D(X) \\&\delta^2_2=D(Y) \\&P=P_{XY} \end{aligned}

μ1=E(X)μ2=E(Y)δ12=D(X)δ22=D(Y)P=PXY 11.设

X_1,X_2,X_3

X1,X2,X3是来自总体

X的样本，且

(

)

E(X)=\mu,\^{\mu }=\frac 1 4X_1+kX_2+\frac 1 8 X_3

E(X)=μ,μˆ=41X1+kX2+81X3是

\mu

μ的无偏估计，则

k=.解题：这题不懂得直接记着就行，题一变就变了比较麻烦

−

k=1-\frac1 4-\frac1 8=\frac5 8

k=1−41−81=8512.设

X_1,X_2,X_3,X_4

X1,X2,X3,X4是总体

∽

(

，

)

X \backsim N(0，2)

X∽N(0，2)的随机样本，

∽

(

)

Y=\frac{{X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2} {{CX_4}^2}\backsim F(3,1)

Y=CX42X12+X22+X32∽F(3,1)，则

C=.解题：这题不懂得直接记着就行，题一变就变了比较麻烦，反正我问的人都已经选择放弃这一题了/(ㄒoㄒ)/~~所以没有人给我讲这道题。。。。。。答案：3

✨二、计算题(本大题6小题，每小题9分，共54分)。

X-2-1012

P2aa1/8a/25a

试求（1）

a；（2）概率

{

−

}

P\{-1

P{−1

Y=2X^2+1

Y=2X2+1的分布律.

解题：（1）因为

2a+a+\frac 1 8+\frac a 2+5=1

2a+a+81+2a+5=1，故

a=\frac7 {68}

a=687（2）

{

−

}

{

}

{

}

136

\begin{aligned} P\{-1

P{−1

Y=2X^2+1

Y=2X2+1取值为1，3，9

Y139

\frac 1 8

136

\frac {21} {136}

13621

\frac{49}{68}

6849

14、已知随机变量的

X密度函数为：

(

)

{

其他

p(x)=\begin{cases} 2x^2+a,&0

p(x)={2x2+a,0,0

a；（2）

(

)

E(2X+1)

E(2X+1)；（3）

X的分布函数

(

)

F(x)

F(x).解题：（1）因为

∫

(

)

\int_0^1(2x^2+a)dx=\frac 2 3+a=1

∫01(2x2+a)dx=32+a=1故

a=\frac 1 3

a=31（2）

(

)

∫

(

)

(

)

\begin{aligned} E(2x+1)&=\int_0^1(2x+1)(2x^2+\frac1 3)dx \\&=\frac 7 3 \end{aligned}

E(2x+1)=∫01(2x+1)(2x2+31)dx=37（3）

X的分布函数

(

)

∫

−

∞

(

)

{

≤

;

≤

＜

;

≥

F(x)=\int_{-\infty}^xp(x)dx=\begin{cases} 0,&x≤0;\\ \frac 2 3x^2+\frac 1 3x,&0≤x＜1;\\ 1,&x≥1 \end{cases}

F(x)=∫−∞xp(x)dx=⎩

⎨

⎧0,32x2+31x,1,x≤0;0≤x＜1;x≥115.设连续型随机变量

X的密度函数为：

(

)

{

(

)

P_x(x)=\begin{cases} \frac 2 {\pi(1+x^2)},&x>0\\ 0,&x<0 \end{cases}

Px(x)={π(1+x2)2,0,x>0x<0求：（1）求概率

{

≤

}

P\{X^2≤3\}

P{X2≤3}；（2）

⁡

Y=\ln X

Y=lnX的密度函数

(

)

p_Y(y)

pY(y).解题：（1）

{

≤

}

{

−

(

≤

(

}

∫

−

(

∫

(

)

arctan

⁡

∣

(

\begin{aligned} P\{X^2≤3\}&=P\{-\sqrt{\mathstrut 3}≤X≤\sqrt{\mathstrut 3}\} \\&=\int_{-\sqrt{\mathstrut 3}}^00dx+\int_0^{\sqrt{\mathstrut 3}}\frac 2 {\pi(1+x^2)}dx \\&=\frac 2 \pi \arctan|_0^{\sqrt{\mathstrut 3}} \\&=\frac 2 3 \end{aligned}

P{X2≤3}=P{−(3

≤X≤(3

}=∫−(3

00dx+∫0(3

π(1+x2)2dx=π2arctan∣0(3

=32（2）

⁡

y=\ln x

y=lnx在

∞

x=e^y

x=ey，

−

∞

-\infty

−∞

、

x^、=e^y

x、=ey

⁡

Y=\ln X

Y=lnX的密度函数

(

)

(

)

−

∞

P_Y(y)=\frac {2e^y} {\pi(1+e^{2y})},-\infty

PY(y)=π(1+e2y)2ey,−∞

(

)

(X,Y)

(X,Y)的密度函数为

(

)

{

(

−

)

其他

p(x,y)=\begin{cases} \frac 1 8(6-x-y)&0

p(x,y)={81(6−x−y)00

(

)

p_X(x)

pX(x)；（2）

(

≤

)

p(X+Y≤4)

p(X+Y≤4).解题：（1）边缘密度函数

(

)

∫

−

∞

(

)

{

∫

(

−

)

′

其他，

{

(

−

)

;

其他，

\begin{aligned} p_X(x)&=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x,y)dy \\&=\begin{cases}\int_2^4\frac1 8(6-x-y)dy,&0

pX(x)=∫−∞+∞p(x,y)dy={∫2481(6−x−y)dy,0,0

{

≤

}

∬

≤

(

)

∫

−

(

−

)

\begin{aligned} p\{X+Y≤4\}&=\small\iint_{\mathclap{x+y≤4}}p(x,y)dxdy\\&=\int_2^4dy\int_0^{4-y}\frac1 8(6-x-y)dx \\&=\frac2 3 \end{aligned}

p{X+Y≤4}=∬x+y≤4p(x,y)dxdy=∫24dy∫04−y81(6−x−y)dx=3217.设随机变量

(

)

(X,Y)

(X,Y)的分布律为

0.2

0.1

−

0.15

0.2

0.25

\begin{array}{c|lcr} Y/X & \text{1} & \text{2} & \text{3} \\ \hline 0 & 0.2 & 0.1 & 0.1 \\ -1 & 0.15 & 0.2 & 0.25 \\ \end{array}

Y/X0−110.20.1520.10.230.10.25（1）求

X及

Y的边缘分布律，并判断

X与

Y的独立性；（2）求

Z=X+Y

Z=X+Y的分布律.解题：(1)

X的边缘分布律

0.35

0.3

0.35

\begin{array}{c|lcr} X & \text{1} & \text{2} & \text{3} \\ \hline P & 0.35 & 0.3 & 0.35 \\ \end{array}

XP10.3520.330.35

Y的边缘分布律

-1

0.4

0.6

\begin{array}{c|lcr} Y & \text{0} & \text{-1} \\ \hline P & 0.4 & 0.6\\ \end{array}

YP00.4-10.6因为

{

}

0.2

≠

{

}

{

}

0.35

0.4

0.14

P\{X=1,Y=0\}=0.2≠P\{X=1\}P\{Y=0\}=0.35×0.4=0.14

P{X=1,Y=0}=0.2=P{X=1}P{Y=0}=0.35×0.4=0.14故

X与

Y不独立（2）

Z=X+Y

Z=X+Y的取值为0、1、2、3，其分布律

0.15

0.4

0.35

0.1

\begin{array}{c|lcr} X & \text{0} & \text{1} &\text{2}& \text{3} \\ \hline P & 0.15 & 0.4 & 0.35 & 0.1\\ \end{array}

XP00.1510.420.3530.118.设

X_1,X_2,...,X_n

X1,X2,...,Xn是取自总体

X的简单随机样本，且总体

X的密度函数为：

(

)

{

−

其他

p(x)=\begin{cases} \theta x^{\theta -1},&0

p(x)={θxθ−1,0,0

\theta>0

θ>0未知，求（1）

\theta

θ的矩估计量；（2）

\theta

θ的极大似然估计量.解题：（1）

∫

(

)

∫

\begin{aligned} a_1=EX&=\int_0^1xp(x)dx\\&=\int_0^1\theta x^\theta dx \\&=\frac \theta {1+\theta} \end{aligned}

a1=EX=∫01xp(x)dx=∫01θxθdx=1+θθ故

−

\theta = \frac {a_1} {1-a_1}

θ=1−a1a1则

\theta

θ的矩估计量

−

\hat{\theta}=\frac {\=X} {1-\=X}

θ^=1−XˉXˉ.（2）

后面都用照片来写/(ㄒoㄒ)/~~，打公式太慢了~

✨三、应用题（10分）

19、设甲乙两袋，甲袋中有

n只白球，

m只红球，乙袋中有

N只白球，

M只红球，今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，(1)从乙袋取到白球的概率：(2)现发现从乙袋取到的球为红球，问从甲袋取的球放入乙袋也是红球的概率是多少？

✨附上原笔记图片（祝大家考试顺利）

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垦字去掉下面的土念什么？