以下各小節是為那些具有量子力學正式的數學描述的一個良好的工作知識的讀者而寫，包括文章推导中熟悉的形式和理論框架：狄拉克符号(BRA-KET符號)和量子力學的數學表述。本章節涉及到密度算符概念，若不熟悉密度算符相關概念，請先閱讀條目密度算符。
嚴格定義
编辑
假設一個複合系統是由兩個子系統A、B所組成[註 3]，這兩個子系統A、B的希爾伯特空間分別為
H
A
{\displaystyle H_{A}}
、
H
B
{\displaystyle H_{B}}
，則複合系統的希爾伯特空間
H
A
B
{\displaystyle H_{AB}}
為張量積
H
A
B
=
H
A
⊗
H
B
{\displaystyle H_{AB}=H_{A}\otimes H_{B}}
。
設定子系統A、B的量子態分別為
|
α
⟩
A
{\displaystyle |\alpha \rangle _{A}}
、
|
β
⟩
B
{\displaystyle |\beta \rangle _{B}}
，假若複合系統的量子態
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
不能寫為張量積
|
α
⟩
A
⊗
|
β
⟩
B
{\displaystyle |\alpha \rangle _{A}\otimes |\beta \rangle _{B}}
，則稱這複合系統為子系統A、B的纏結系統，兩個子系統A、B相互纏結。
純態
编辑
假設一個複合系統是由兩個不相互作用的子系統A、B所組成，子系統A、B的量子態分別為
|
α
⟩
A
{\displaystyle |\alpha \rangle _{A}}
、
|
β
⟩
B
{\displaystyle |\beta \rangle _{B}}
，則複合系統的量子態
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
為
|
ψ
⟩
A
B
=
|
α
⟩
A
⊗
|
β
⟩
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=|\alpha \rangle _{A}\otimes |\beta \rangle _{B}}
。
這種形式的量子態稱為直積態（product state）。量子態
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
具有可分性（separability），是「可分態」。對於子系統A做測量，必定不會影響到子系統B；反之亦然。因此，對於這種複合系統，測量任意子系統的可觀察量時，不必考慮到另外一個子系統。
假設子系統A、B相互耦合，則複合系統的量子態
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
不能用單獨一項直積態表示，必須用多項直積態的量子疊加表示。量子態
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
不具有可分性，是「糾纏態」。假設
{
|
a
i
⟩
A
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}}
、
{
|
b
j
⟩
B
}
{\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}}
分別為希爾伯特空間
H
A
{\displaystyle H_{A}}
、
H
B
{\displaystyle H_{B}}
的規範正交基。在希爾伯特空間
H
A
⊗
H
B
{\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}
裏，這複合系統的量子態
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
可以表示為
|
ψ
⟩
A
B
=
∑
i
,
j
c
i
j
|
a
i
⟩
A
⊗
|
b
j
⟩
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{i,j}c_{ij}|a_{i}\rangle _{A}\otimes |b_{j}\rangle _{B}}
；
其中，
c
i
j
{\displaystyle c_{ij}}
是複係數。
例如，假設
|
0
⟩
A
{\displaystyle |0\rangle _{A}}
、
|
1
⟩
A
{\displaystyle |1\rangle _{A}}
分別為規範正交基
{
|
a
i
⟩
A
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}}
的基底向量，
|
0
⟩
B
{\displaystyle |0\rangle _{B}}
、
|
1
⟩
B
{\displaystyle |1\rangle _{B}}
分別為規範正交基
{
|
b
j
⟩
B
}
{\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}}
的基底向量。以下形式的量子態是一個糾纏態
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
：
|
ψ
⟩
A
B
=
1
2
(
|
0
⟩
A
⊗
|
1
⟩
B
−
|
1
⟩
A
⊗
|
0
⟩
B
)
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}={1 \over {\sqrt {2}}}{\bigg (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\bigg )}}
。
現在假設愛麗絲、鮑勃分別是子系統A、B的觀察者，規範正交基
{
|
a
i
⟩
A
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}}
的基底向量
|
0
⟩
A
{\displaystyle |0\rangle _{A}}
、
|
1
⟩
A
{\displaystyle |1\rangle _{A}}
為可觀察量
O
A
{\displaystyle O_{A}}
的本徵態向量，對應的本徵值分別為
0
{\displaystyle 0}
、
1
{\displaystyle 1}
。規範正交基
{
|
b
j
⟩
B
}
{\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}}
的基底向量
|
0
⟩
B
{\displaystyle |0\rangle _{B}}
、
|
1
⟩
B
{\displaystyle |1\rangle _{B}}
為可觀察量
O
B
{\displaystyle O_{B}}
的本徵態向量，對應的本徵值分別為
0
{\displaystyle 0}
、
1
{\displaystyle 1}
。假設愛麗絲測量可觀察量
O
A
{\displaystyle O_{A}}
，則結果可能有兩種結果，每一種結果發生的機率相同，都是50%：[26]
愛麗絲測量可觀察量
O
A
{\displaystyle O_{A}}
的結果為0，量子態塌縮為
|
0
⟩
A
|
1
⟩
B
{\displaystyle |0\rangle _{A}|1\rangle _{B}}
，那麼，鮑勃在之後測量可觀察量
O
B
{\displaystyle O_{B}}
的結果為1。
愛麗絲測量可觀察量
O
A
{\displaystyle O_{A}}
的結果為1，量子態塌縮為
|
1
⟩
A
|
0
⟩
B
{\displaystyle |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}}
，那麼，鮑勃在之後測量可觀察量
O
B
{\displaystyle O_{B}}
的結果為0。
由此可見，愛麗絲對子系統A測量可觀察量
O
A
{\displaystyle O_{A}}
這定域動作改變了子系統B，儘管子系統A、B之間可能相隔很長一段距離，這就是兩個子系統量子糾纏的現象。更詳盡內容，請參閱EPR佯谬。
由於愛麗絲測量得到的結果具有隨機性，愛麗絲不知道複合系統會怎樣塌縮，她不能夠以超光速傳遞這信息給鮑勃，因此，沒有違反因果性（causality）。更詳盡內容，請參閱不可通訊定理（no-communication theorem）。
混合態
编辑
混合態是由幾種純態依照統計機率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
、
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
、
|
ψ
3
⟩
{\displaystyle |\psi _{3}\rangle }
、……的機率分別為
w
1
{\displaystyle w_{1}}
、
w
2
{\displaystyle w_{2}}
、
w
3
{\displaystyle w_{3}}
、……，則這混合態量子系統的密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
定義為
ρ
=
d
e
f
∑
i
w
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
{\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}
。
注意到所有機率的總和為1：
∑
i
w
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}
。
將先前對於純態的可分性所做的定義加以延伸，具有可分性的兩體混合態，其密度算符可以寫為[2]:131-132
ρ
=
∑
i
w
i
ρ
i
,
A
⊗
ρ
i
,
B
{\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\rho _{i,A}\otimes \rho _{i,B}}
；
其中，
w
i
{\displaystyle w_{i}}
是正實值係數，可以詮釋為機率，
ρ
i
,
A
{\displaystyle \rho _{i,A}}
是子系統A的一組密度算符，
ρ
i
,
B
{\displaystyle \rho _{i,B}}
是子系統B的一組密度算符。
假若兩體混合態可以以上述方程式表示，則這混合態具有可分性，其量子系統遵守貝爾不等式，不被量子糾纏；否則，這混合態具有不可分性，是糾纏態，其量子系統被量子糾纏，但並不一定會違反貝爾不等式[2]:131-132。
一般而言，很不容易辨識任意混合態量子系統到底是否被量子糾纏。一般兩體案例已被證明為NP困難[27]。對於
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
與
2
×
3
{\displaystyle 2\times 3}
案例，佩雷斯-霍羅德基判據（Peres-Horodecki criterion）是可分性的充要條件[28]。
怎樣做實驗製成混合態？試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統，這系統擁有很多個微觀態（microstate），伴隨每一個微觀態都有其發生的機率（波茲曼因子），它們會因熱力學漲落（thermal fluctuation）從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序，例如，將光束通過表面粗糙的雙折射晶體，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制，有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統的量子態為
(
|
R
,
L
⟩
+
|
L
,
R
⟩
)
/
2
{\displaystyle (|R,L\rangle +|L,R\rangle )/{\sqrt {2}}}
；其中，
|
R
⟩
{\displaystyle |R\rangle }
、
|
L
⟩
{\displaystyle |L\rangle }
分別為右旋圓偏振態、左旋圓偏振態。整個系統是處於純態，但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子，從分析光子子系統的約化密度算符，可以得到這結論。
約化密度算符
编辑
約化密度算符的點子最先由保羅·狄拉克於1930年提出[29]。假設由兩個子系統A、B所組成的複合系統，其量子態為純態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
，其密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
為
ρ
=
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
{\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}
。
這密度算符也是投影算符，能夠將複合系統的希爾伯特空間
H
A
B
{\displaystyle H_{AB}}
裏的任意量子態
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
投影到量子態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
：
ρ
|
ϕ
⟩
=
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
ϕ
⟩
{\displaystyle \rho |\phi \rangle =|\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle }
。
取密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
對於子系統B的偏跡數，可以得到子系統A的約化密度算符
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
：
ρ
A
=
d
e
f
∑
j
⟨
b
j
|
B
(
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
)
|
b
j
⟩
B
=
Tr
B
(
ρ
)
{\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}\langle b_{j}|_{B}\left(|\psi \rangle \langle \psi |\right)|b_{j}\rangle _{B}={\hbox{Tr}}_{B}(\rho )}
。
例如，先前提到的糾纏態
|
ψ
⟩
A
B
=
(
|
0
⟩
A
⊗
|
1
⟩
B
−
|
1
⟩
A
⊗
|
0
⟩
B
)
/
2
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})/{\sqrt {2}}}
，其子系統A的約化密度算符
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
為
ρ
A
=
1
2
(
|
0
⟩
A
⟨
0
|
A
+
|
1
⟩
A
⟨
1
|
A
)
{\displaystyle \rho _{A}={\frac {1}{2}}{\bigg (}|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}{\bigg )}}
。
如同預想，這公式演示出，子系統A的約化密度算符
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
為混合態。
馮紐曼熵
编辑
在量子統計力學（quantum statistical mechanics）裏，馮紐曼熵（von Neumann entropy）是經典統計力學關於熵概念的延伸。對於約化密度矩陣為
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
的糾纏態，馮紐曼熵的定義為[30]:301
S
1
=
d
e
f
−
∑
i
ω
i
log
ω
i
{\displaystyle S_{1}\ {\stackrel {def}{=}}\ -\sum _{i}\omega _{i}\log \omega _{i}}
；
其中，
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
是約化密度矩陣
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
的第
i
{\displaystyle i}
個本徵態的本徵值。[來源請求]從這形式可以推論馮紐曼熵與經典信息論裏的夏農熵相關[30]。
由於一個被定義在A部份的算符
O
A
{\displaystyle O_{A}}
的期望值
⟨
O
A
⟩
{\displaystyle \langle O_{A}\rangle }
是
⟨
O
A
⟩
=
∑
i
ω
i
⟨
ω
i
|
O
A
|
ω
i
⟩
{\displaystyle \langle O_{A}\rangle =\sum _{i}\omega _{i}\langle \omega _{i}|O_{A}|\omega _{i}\rangle }
可以視每一個本徵值
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
為處於本徵態
|
ω
i
⟩
{\displaystyle |\omega _{i}\rangle }
的機率。若
O
A
=
1
{\displaystyle O_{A}=1}
是單位矩陣，則可發現所有的機率
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
總和為1。
從定義的數學形式來看，假若探測到第
i
{\displaystyle i}
個本徵態的機率為
ω
i
=
0
{\displaystyle \omega _{i}=0}
，則貢獻的馮紐曼熵為
lim
ω
i
→
0
(
ω
i
log
ω
i
)
=
0
{\displaystyle \lim _{\omega _{i}\to 0}(\omega _{i}\log \omega _{i})=0}
假若
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
是一個純態，則只有其中一個本徵態
|
ω
i
⟩
{\displaystyle |\omega _{i}\rangle }
被探測到的機率為
ω
i
=
1
{\displaystyle \omega _{i}=1}
，其他的本徵值都是零，所以純態的馮紐曼熵為
1
log
1
=
0
{\displaystyle 1\log 1=0}
因此從數學而言，馮紐曼熵的下極限為零。馮紐曼熵愈大表示
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
的機率分佈愈平均，所以對於一個
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
的約化密度矩陣，
每一個本徵態出現的機率都是
1
/
N
{\displaystyle 1/N}
，馮紐曼熵是
S
1
=
−
∑
i
(
1
N
log
1
N
)
=
log
N
{\displaystyle S_{1}=-\sum _{i}\left({\frac {1}{N}}\log {\frac {1}{N}}\right)=\log N}
。
馮紐曼熵可以被視為量子系統無序現象的一種度量，純態的馮紐曼熵最小，數值為
0
{\displaystyle 0}
，而完全隨機混合態的馮紐曼熵最大，數值為
log
N
{\displaystyle \log N}
。
倫伊熵
编辑
倫伊熵（Rényi entropy）以匈牙利數學家倫伊·阿爾弗雷德（英语：Alfréd Rényi）命名，可視為馮紐曼熵的一種推廣。定義為
S
α
=
1
1
−
α
log
(
∑
i
ω
i
α
)
{\displaystyle S_{\alpha }={\frac {1}{1-\alpha }}\log \left(\sum _{i}\omega _{i}^{\alpha }\right)}
其中，
α
≥
0
{\displaystyle \alpha \geq 0}
是一個實數。當取極限
α
→
1
{\displaystyle \alpha \to 1}
時，倫伊熵就是馮紐曼熵。
量子糾纏度量
编辑
對於兩體純態系統，糾纏度量
S
(
ρ
)
{\displaystyle S(\rho )}
（豎軸）與任意本徵值
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
（橫軸）的關係曲線。當本徵值為0.5時，糾纏度量最大，這純態是最大糾纏態。
量子糾纏與量子系統失序現象、量子信息喪失程度密切相關。量子糾纏越大，則子系統越失序，量子信息喪失越多；反之，量子糾纏越小，子系統越有序，量子信息喪失越少。因此，馮紐曼熵可以用來定量地描述量子糾纏，另外，還有其它種度量也可以定量地描述量子糾纏。對於兩體複合系統，這些糾纏度量較常遵守的幾個規則為[31][2]:129-130
糾纏度量必須映射從密度算符至正實數。
假若整個複合系統不處於糾纏態，則糾纏度量必須為零。
對於純態複合系統，糾纏度量必需約化為馮紐曼熵。
對於命定性的定域運算與經典通訊（local operation and classical communication）變換，糾纏度量不會增加。
對於兩體純態
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
，根據施密特分解（Schimidt decomposition）[2]:129-130
S
A
=
S
B
=
−
∑
i
ω
i
log
ω
i
{\displaystyle S_{A}=S_{B}=-\sum _{i}\omega _{i}\log \omega _{i}}
；
其中，
S
A
{\displaystyle S_{A}}
、
S
B
{\displaystyle S_{B}}
分別為子系統A、B的馮紐曼熵，
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
是先前提到的子系統A約化密度算符的幾個本徵值之一。
所以，整個複合系統的糾纏度量
S
(
ρ
)
{\displaystyle S(\rho )}
可以設定為任意子系統A或B的馮紐曼熵：
S
(
ρ
)
=
−
∑
i
ω
i
log
ω
i
{\displaystyle S(\rho )=-\sum _{i}\omega _{i}\log \omega _{i}}
；
對於兩體純態
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
，假若子系統的約化密度矩陣是對角矩陣
ϱ
=
1
N
[
1
0
0
⋯
0
0
1
0
⋯
0
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
⋯
1
]
{\displaystyle \varrho ={\frac {1}{N}}{\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\\end{bmatrix}}}
，
則這兩體純態具有最大可能的糾纏度量
S
(
ρ
)
=
log
N
{\displaystyle S(\rho )=\log N}
，但是它的子系統也完全失序，並且無法預測對於子系統做測量得到的結果，只能預測兩個子系統之間的量子關聯。
順帶一題，一個
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
的對稱矩陣，每個矩陣元皆以亂數決定形成一個隨機矩陣，對角化之後得到的
N
{\displaystyle N}
個本徵值並不等於
1
/
N
{\displaystyle 1/N}
，而是一個半圓分佈，因此隨機矩陣的馮紐曼熵並不是
log
N
{\displaystyle \log N}
。對於兩體純態，馮紐曼熵和倫伊熵都能夠量度量子糾纏，因為它能夠滿足某些量度量子糾纏必須遵守的判據。雖然如此，但是馮紐曼熵具有熱力學熵的相加性，倫伊熵則沒有熱力學熵的相加性。
至於混合態，目前量度量子糾纏並沒有好的方法。